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Coïncidences: le paradoxe des anniversaires

Quoi? Deux élèves de la même classe fêtent leur anniversaire le même jour?... (Photo thinkstock)

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Quoi? Deux élèves de la même classe fêtent leur anniversaire le même jour? Quelle coïncidence! En fait, pas vraiment. La possibilité que deux personnes dans un même groupe aient la même journée d'anniversaire est, de façon surprenante, assez élevée. Petite démonstration pour démystifier une coïncidence pas si étonnante.

Combien de personnes faut-il réunir dans une pièce pour être absolument certain qu'au moins deux personnes partagent la même date d'anniversaire? Réponse: 367, soit une personne de plus que le nombre de journées différentes dans une année (366, si on tient compte des années bissextiles).

Mais combien de personnes faut-il réunir dans une pièce pour avoir au moins 50 % de chances qu'au moins deux personnes partagent la même date d'anniversaire?

a) 183

b) 253

c) 23

Réponse: oui, 23 personnes seulement.

Comment est-ce possible?

La formule utilisée - tirée de l'analyse combinatoire - se base sur l'événement complémentaire de ce que l'on cherche: quelle est la possibilité qu'aucune paire d'anniversaires ne puisse être trouvée dans un groupe? Par souci de simplicité, on oublie les années bissextiles et on calcule sur une année de 365 jours.

Comment ça marche?

Pour éviter les paires d'anniversaires, chaque personne du groupe doit avoir une date différente des autres.

La première personne prend une date parmi les 365 jours de l'année.

La deuxième prend une date parmi les 364 jours restants (365 jours - la date de la première personne)

La troisième a donc le choix entre 363 jours.

Et ainsi de suite.

Pour un groupe de trois personnes, le calcul se dessine donc ainsi: 

p (3) = 365/365 x 364/365 x 363/365

= 0,9917, ou 99 % de chances qu'aucune des trois personnes n'ait la même date d'anniversaire

p: probabilité

3: nombre de personnes dans le groupe

Et pour un groupe de 23 personnes: 

p (23) = 365/365 x 364/365 x 363/365...

= 0,4927, ou 49,27 % de chance qu'aucune des 23 personnes n'ait la même date d'anniversaire

Donc, de façon complémentaire, la probabilité qu'au moins deux personnes du groupe de 23 partagent la même date d'anniversaire est de 50,7 % (soit 100 % - 49,27 %).

* * *

Toujours sceptique?

Une autre façon de mieux comprendre les probabilités est de s'intéresser aux possibilités de former des paires dans un même groupe - c'est le calcul «par intuition».

Avec deux personnes, une seule paire est possible. Les chances d'avoir une paire d'anniversaires sont donc faibles.

Nombre de personnes: 2

Nombre de paires possibles: 1

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires: 

1 chance de paire/365 jours = 0,3 %

Plus le nombre de personnes augmente, plus les chances augmentent.

Nombre de personnes: 10

Nombre de paires possibles: 45

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires *: 11,7 %

Nombre de personnes: 20

Nombre de paires possibles: 190

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires *: 41,1 %

Nombre de personnes: 23

Nombre de paires possibles: 253

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires *: 50,7 %

* À noter qu'on ne peut pas calculer des probabilités exactes en analysant le nombre de paires, puisqu'il faudrait tenir compte aussi des trios, des quatuors, etc., et de toutes les combinaisons de ces ensembles. Les probabilités indiquées ont été calculées avec la formule exacte.

Et bien vite, le nombre de paires possibles dépasse le nombre de jours dans une année, et on atteint presque 100 %.

Nombre de personnes: 57

Nombre de paires possibles: 1596

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires: 99,0 %

Nombre de personnes: 70

Nombre de paires possibles: 2415

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires: 99,9 %

Nombre de personnes: 200

Nombre de paires possibles: 19 900

Probabilité de trouver une paire d'anniversaires: 99,9999999999999999999999999998 %

Ainsi, sur les 244 personnes que compte la salle de rédaction de La Presse, on a relevé pas moins de: 

107 personnes (44 % des employés) qui partagent leur date d'anniversaire avec au moins un collègue.

Soit: 

41 paires d'anniversaires (82 personnes)

7 trios (21 personnes)

1 quatuor (4 personnes sont nées un 5 mai)




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