Deux tonnes par centimètre carré...

L'épaisseur de tuyau requise pour éviter les fuites... (123rf\Paul Tessier)

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L'épaisseur de tuyau requise pour éviter les fuites dues au gel va varier en fonction du matériau, de la longueur et du diamètre du tuyau ainsi que que la température ambiante. Par exemple, pour un tuyau d'acier de 5 cm de diamètre, les parois devraient faire 2 cm d'épaisseur pour éviter qu'elles ne fendent, à - 5 °C.

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(Québec) «On a eu un hiver très froid l'an dernier avec un gel au sol très profond. J'aimerais savoir quelle est la force que l'eau peut exercer autour d'elle lorsqu'elle gèle. Et quelle épaisseur les parois d'un tuyau en acier devraient avoir pour y résister», demande Claude Duchesne, de Stoneham.

«L'eau prend environ 9 % d'expansion en gelant à cause d'un réarrangement moléculaire», nous a expliqué Benoît Lévesque, professeur de génie mécanique à l'Université Laval, lors d'un échange de courriels. «Dans l'eau liquide, les molécules ont tendance à se regrouper en pentagone (bien que ces liaisons ne soient pas fortes et changent continuellement), alors que la forme solide, la glace, présente une structure hexagonale qui est un peu plus volumineuse, avec des liaisons entre les molécules qui sont très fortes.»

Or l'eau est très, très peu compressible, poursuit-il, et la glace l'est encore moins. Si bien que pour en empêcher l'expansion, il faudrait la pressuriser à un degré qui est en pratique complètement absurde. Comme le montre le texte ci-contre, c'est un calcul assez simple, mais pour ceux qui n'auraient pas la tête aux maths en ce dimanche matin, il suffit de savoir ceci : pour annuler complètement l'expansion de la glace, il faut «peser» dessus dans toutes les directions à hauteur de près de 2017 kilogrammes par centimètre carré.

Vous avez bien lu... 2 t/cm2!

Exprimé en unités plus «officielles», cela représente 198 mégapascals (MPa), ou 198 millions de newtons par mètre carré. Par comparaison, dit M. Lévesque, l'eau est généralement transportée sous des pressions de 1 à 2 MPa dans des tuyaux qui fendent entre 8 et 15 MPa. «Dans les équipements hydrauliques comme les pelles mécaniques, on monte jusqu'à environ 35 MPa comme pression de travail et les tuyaux peuvent résister jusqu'à environ 140 MPa», ajoute-t-il, ce qui est toujours insuffisant pour résister au gel.

L'épaisseur de paroi d'acier qu'il faut pour cela est, elle aussi, facile à calculer. Mais encore une fois, pour ceux qui n'auraient pas fini leur café... L'épaisseur requise va varier selon le matériau, la longueur et le diamètre du tuyau, de même que la température qu'il fait (la glace résiste encore mieux à la compression par grands froids), mais pour un tuyau d'acier de, disons, 5 cm de diamètre, il faudrait des parois de 2 cm d'épaisseur pour ne pas «péter au frette» à seulement - 5 °C. Et par - 20 °C, les parois devraient être encore plus épaisses (5,3 cm) que le diamètre du tuyau!

Calcul de la force que l'eau exerce autour d'elle en gelant

Pour calculer la force qu'exerce l'eau autour d'elle en gelant, il faut partir de son «module de compressibilité» B, une mesure de sa résistance à la compression. Tout corps a un tel «module», et celui de l'eau est de 2,2 gigapascals (GPa). L'inverse de ce module nous dit de combien un corps va se comprimer sous une pression donnée. Dans le cas de l'eau, on a :

1/B = 1/2 200 000 000 Pa = 0,000 000 000 455/Pa

Cela signifie que pour chaque pascal de pression, un volume d'eau va se comprimer de seulement 0,0 000 000 455 %. Ainsi, si l'on veut annuler complètement les 9 % d'expansion que l'eau prend en gelant, il faut lui appliquer une pression p égale à :

p = 0,09/(1/B)

p = 0,09/(0,000 000 000 455/Pa)

p = 197 802 198 Pa

Puisque chaque pascal de pression équivaut à 1 newton par m2, ou sur Terre, à un peu moins de 100 g/m2, la conversion en tonnes par

cm2 donne 2,017 t/cm2. Voilà la pression qu'exerce l'eau qui gèle.

Maintenant, l'acier est généralement capable de prendre des tensions de 520 mégapascals avant de céder. Pour savoir si un tuyau résistera au gel, explique M. Lévesque, il faut d'abord savoir qu'il y a deux forces f1 et f2 en équilibre dans un tuyau d'eau. L'une, d'un côté, est le produit de la pression interne p, que l'on vient de calculer, multipliée par la longueur l et par le diamètre d du tuyau. Pour un tuyau de, disons, 1 m de long sur 5 cm de diamètre, on a donc une force f1 de :

f1 = p x l x d

f1 = 197 802 198 N/m2 x 1 m x 0,05 m

f1 = 9 890 110 N

L'autre force f2 de cet équilibre est le produit de la tension t dans la paroi multipliée par la longueur l et par deux fois l'épaisseur é de ladite paroi. Supposons ici qu'on a un bon tuyau bien robuste avec une paroi de 1 cm, ce qui est beaucoup. On a donc :

f1 = f2 = 9 890 110 N

9 890 110 N = t x l x 2é

C'est la tension t qui nous intéresse, ici, car c'est elle qui ne doit pas dépasser 520 MPa. Moyennant un brin d'algèbre, on obtient :

t = 9 890 110 N/ (l x 2é)

t = 9 890 110 N/ (1 m x 2 x 0,01 m)

t = 9 890 11000 N/m2 = 9 890 11000 Pa = 989 MPa

La tension dans la paroi est donc de 989 MPa, ce qui est supérieur à la limite que peut supporter l'acier. Alors même avec 1 cm de paroi, notre tuyau fendrait. Pour savoir l'épaisseur é' qui résisterait au gel, l'on fait simplement une règle de trois :

é' = é X 989 MPa/520 MPa = 1,9 cm.

Mais c'est là un résultat assez théorique, avertit M. Lévesque. En pratique, les tuyaux épais (dont la paroi fait plus de 10 % du diamètre) ont besoin d'environ 50 % de plus que la valeur théorique - donc entre 2,5 et 3 cm, ici.

Notons enfin que le module de compressibilité de la glace augmente avec le froid. Il est de 3 GPa à - 5 °C, et de 8 GPa à - 20 °C, ce qui change l'épaisseur requise pour y résister. Mais en général, dit M. Lévesque, «le tuyau va se fendre avant que l'eau se soit entièrement transformée en glace à un moment où le tuyau comprime le mélange eau-glace. À ce moment, le module de compressibilité effectif variera entre 2 et 3 GPa».

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