En fait, il est faux de dire qu'on arrive toujours à 9 en effectuant cette série d'opérations. Quand on fait la somme s des chiffres d'un nombre n, que l'on notera s(n), et que l'on soustrait ensuite de s(n) la somme de ses chiffres, il est tout à fait possible de tomber sur un résultat différent. Il en est ainsi du nombre qui suit immédiatement le premier exemple de Mme Beaulieu : avec 1140, on obtient 1 + 1 + 4 + 0 = 6 et, si l'on tient vraiment à poursuivre, 6 - 6 = 0. Autre exemple : avec l'année actuelle, 2012, on a 2 + 0 + 1 + 2 = 4. Et ainsi de suite.

En effet, nous a écrit le mathématicien de l'Université Laval Jean-Marie De Koninck lors d'un échange de courriels, «on peut montrer que les seules solutions (pour n - s(n) = 9) sont 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 et 19». Autrement dit, il faut que la somme des chiffres de n se trouve dans cette fourchette pour que la série d'opérations de Mme Beaulieu aboutisse à 9.

Il en est ainsi parce que, évidemment, 9 est le dernier chiffre dans notre système de numérotation et que le chiffre d'après, 10, est composé d'un 1 et d'un 0. En lui soustrayant la somme de ses chiffres, on recule donc à 10 - (1 + 0) = 9. Par la suite et jusqu'à 19, quand le nombre augmente de 1, alors la somme de ses chiffres (entre les parenthèses) augmente elle aussi de 1, ce qui ramène toujours à 9 - comme dans 11 - (1 + 1) = 9.

Pour les nombres dans la vingtaine, cependant, on obtient toujours 18; pour les nombres dans la trentaine, c'est 27, etc. On pourrait ici faire valoir qu'en additionnant les chiffres de 18 et 27, on arrive encore à 9, mais d'une part, il faudrait pour cela ajouter une étape à l'algorithme de Mme Beaulieu, et d'autre part, ce n'est pas toujours vrai, comme le montrent nos exemples de 1140 et 2012.

Ce qui pourrait peut-être expliquer pourquoi notre lectrice avait l'impression de toujours tomber sur 9, c'est que les nombres qui nous viennent le plus spontanément à l'esprit se situent habituellement dans les centaines ou les premiers milliers, soit en plein les ordres de grandeur où s(n) a le plus de chances de tomber entre 10 et 19. Si Mme Beaulieu avait testé son intuition avec, disons, des nombres à 11 chiffres (des dizaines de milliards), elle se serait rapidement rendu compte que sa règle ne tenait pas - mais nous ne sommes pas naturellement portés à penser à des nombres qui dépassent de si loin l'échelle de notre quotidien.

Pour la petite histoire, sachez que votre chroniqueur favori avait, au départ, bien mal expliqué le problème à M. De Koninck. Et comme les mathématiciens ont souvent le défaut de comprendre exactement ce qu'on leur dit, celui-là a d'abord résolu la question de savoir quels sont les nombres qui, quand on leur retranche la somme de leurs chiffres, donnent un nombre dont le dernier chiffre est 9. La démonstration, très intéressante bien que M. De Koninck la dise incomplète, tient sur une page et conclut essentiellement que «tout nombre n = [d1, d2, ..., dr], où d1... dr désignent ses chiffres [de gauche à droite, N.D.L.R.], appartient à (l'ensemble des solutions) si, et seulement si, s(n) - dr - 1 est un multiple de 10».

Vous essayerez ça, pour voir, ça fonctionne toujours!

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«Ma question porte sur les probabilités. L'été dernier j'ai rencontré chez des amis une femme qui est née le même jour que moi à la même heure. Quelles sont les probabilités qu'une telle rencontre se produise à 53 ans?» se questionne Denise Carrier, de Sainte-Marie.

Supposons que, à partir de l'âge de cinq ans, l'on fasse la connaissance (sans nécessairement se lier d'amitié) d'une personne par semaine en moyenne, ce qui nous semble assez conservateur. À l'âge de 53 ans, chacun aura ainsi connu 52 x (53 - 5) = 2496 personnes. Si l'on présume qu'elles sont âgées de 0 à 80 ans et si l'on divise chaque jour en 24 plages de une heure, cela donne 80 x 365 x 24 = 700 800 moments de naissance possibles. Pour simplifier le calcul, nous ferons comme si tous les âges étaient également représentés dans la population - comme si la «pyramide» des âges avait la forme d'une tour bien droite.

Chaque fois que l'on rencontre quelqu'un, on a ainsi une chance sur 700 800 qu'il ou elle soit né au même moment que soi, probabilité que l'on écrit ainsi : 1 ÷ 700 800 = 0,0000014269. Pour connaître la probabilité cumulative après avoir rencontré 2496 personnes, cependant, il ne suffit pas de multiplier par 1976 - les probabilités ne se calculent pas de cette façon. On doit plutôt procéder à l'envers, c'est-à-dire calculer les chances pour que la coïncidence ne se produise pas.

À chaque personne rencontrée, cette probabilité est de 1 - 0,0000014269 = 0,9999985731, et l'on multiplie cette chance par elle-même à chaque rencontre. Ainsi, au bout de 2496 rencontres, elle est égale à 0,99999857312496 = 0,996. Ainsi, à l'âge de 53 ans, on a 99,6 % des chances de ne jamais avoir rencontré quelqu'un qui est né le même jour et à la même heure que soi - ou si l'on préfère, 0,4 % de chance de connaître unetelle personne.